[08] BAB VIII. PELUANG/PROBABILITY/KEMUNGKINAN

• 
• MATERI POKOK BAHASAN :
  1. Pengantar …………………………………………………………………………….
  2. Pengertian Peluang/Kemungkinan/Probability ……………………….
  3. Peristiwa ………………………………………………………………………………
  4. Macam-Macam Peluang …………………………………………………………
  5. Ruang Sampel ………………………………………………………………………
  6. Kaidah-Kaidah Peluang …………………………………………………………
  7. Peluang Sebuah Peristiwa ………………………………………………………
     • Peluang Peristiwa Sederhana ………………………………………………
     • Peluang Peristiwa Majemuk ………………………………………………..
  8. Uji X² (Uji-Square test) …………………………………………………………
  9. Umpan Balik ………………………………………………………………………..
• BAB VIII. PELUANG/PROBABILITY/KEMUNGKINAN
• 8.1. Pengantar
• Salah satu sifat ilmiah dalam suatu Ilmu bahwa segala sesuatu harus terukur. Demikian juga  dalam suatu ilmu genetika baik genetika transmisi atau genetika Mendel, khususnya dalam cabang genetika kuantitatif, maka pengukuran menggunakan parameter kuantitatif, yaitu pengukuran berkaitan dengan perbandingan fenotip dan perbandingan genotip. Pembahasan tentang perbandingan genetik pasti akan berhubungan dengan menghitung besarnya kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi atau akan muncul. Dalam genetika kemungkinan yang dihitung adalah kemungkinan memisah dan bergabung nya gamet, atau lebih spesifik memisah atau bergabungnya alel, hal ini berarti kemungkinan munculnya suatu fenotip atau genotip pada suatu individu.
• Ada tiga lingkungan dalam proses pengambilan keputusan yang telah dijadikan dalil yakni  pasti, ketidakpastian dan resiko. Resiko adalah suatu keadaan dimana nilai-nilai peluang dapat diberikan kepada setiap hasil atau peristiwa. Sampai seberapa jauh keputusan diambil dalam suatu resiko tergantung pada siapa yang akan mengambil keputusan tersebut apakah para Peternak, pebisnis, industriawan atau tingkatan menajerial dalam suatu organisasi. Akan tetapi, meskipun keputusan semacam ini boleh dibilang langka namun tetap perlu menjadi bahan pertimbangan.
• Sebagai contoh industri Peternakan tetap mempercayai nilai-nilai peluang yang diambil dari data aktual. Kesalahan yang dilakukan perusahaan peternakan ini dalam menggunakan nilai-nilai peluang untuk membuat keputusan bisa berakibat fatal bagi perusahaan tersebut. Dalam kasus lain, masalah yang dihadapi oleh para manajer dalam mengambil keputusan adalah bagaimana menggunakan nilai-nilai peluang dalam situasi yang sebenarnya dan bagaimana menarik kesimpulan dari hasil yang didasarkan pada teori peluang.
• Kapan tepatnya teori peluang masuk ke dalam dunia statistika belum diketahui secara pasti. Meskipun teori peluang sudah dikenal sejak abad 17 oleh para matematika wan, tetapi masih diragukan kapan teori ini berhubungan dengan statistika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, perkawinan antara matematika peluang dengan data yang dikumpulkan oleh negara-negara di berbagai penjuru dunia akhirnya melahirkan ilmu baru yaitu statistika.
• Tidak dapat dipungkiri lagi berkembangnya teori peluang diawali oleh kesenangan orang untuk mengadu untung di meja judi. Lahirnya berbagai teori peluang yang dilandasi dari kesenangan ini telah banyak mempengaruhi perkembangan ilmu statistika itu sendiri. Seseorang tidaklah mungkin untuk memahami statistika secara sempurna tanpa memahami apa arti peluang itu sendiri. Olehkarena itu dapatlah dikatakan bahwa teori peluang adalah fondasi dari statistika.
• Penggunaan teori peluang dalam bidang bisnis sudah cukup lama dikenal oleh para pebisnis. Meski banyak diantara mereka tidak memiliki latar belakang matematika namun istilah peluang, disadari atau tidak, banyak berperan ketika mereka menjalankan aktivitas organisasi khususnya dalam proses pengambilan keputusan. Oleh karena itu untuk memberikan gambaran tentang peluang yang dimaksud, bab ini hanya membahas dasar-dasar teori peluang sebagai dasar pengetahuan untuk memahami analisis statistika.
• 8.2. Pengertian Peluang/Kemungkinan/Probability
• Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar perkiraan terjadinya hujan dalam bentuk peluang baik secara kualitatif seperti “kemungkinannya kecil akan terjadi hujan esok hari”, atau dalam bentuk kuantitatif seperti “kemungkinan hujan esok hari sekitar 30%”.
• Jelas di sini bahwa berbicara mengenai peluang kita dihadapkan dalam suatu kondisi yang tidak pasti, akan tetapi kita hanya diberikan suatu petunjuk atau gambaran seberapa besar keyakinan kita bahwa suatu peristiwa bisa terjadi.
• Peluang seringkali juga disebut dengan nama lain seperti probabilitas, kebolehjadian, Kemungkinan, dan sebagainya. Peluang semata-mata adalah suatu cara untuk menyatakan kesempatan terjadinya suatu peristiwa atau suatu istilah untuk menunjukkan ketidak pastian, artinya segala sesuatu yang tidak pasti terjadi dapat disebut mungkin akan terjadi walaupun mungkin juga tidak atau belum tentu terjadi.
• Harapan akan terjadinya suatu peristiwa, tidak sama untuk setiap peristiwa dan setiap waktu. Oleh karena itu besarnya kemungkinan suatu peristiwa yang berbeda dapat sama dapat pula berbeda.
• Dengan demikian dapat didefinisikan bahwa Peluang atau Kemungkinan atau Probability adalah Banyaknya kejadian yang akan menimbulkan peristiwa dalam suatu jumlah gugus kejadian yang mungkin terjadi. Peluang munculnya suatu kejadian dapat didefinisikan sebagai nisbah munculnya kejadian tersebut terhadap seluruh kejadian.
• Jika pada suatu gugus n kejadian yang mungkin terjadi, sedangkan dari gugus kejadian tersebut terdapat m kejadian yang akan menimbulkan peristiwa tertentu, maka Nilai Peluang terjadinya peristiwa tertentu adalah P = m/n.
• Secara kualitatif peluang dapat dinyatakan dalam bentuk kata sifat untuk menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu keadaan seperti “baik”, “lemah”, “kuat”, “miskin”, “sedikit” dan lain sebagainya. Secara kuantitatif, peluang dinyatakan sebagai nilai-nilai numeris baik dalam bentuk pecahan maupun desimal antara 0 (0%) dan 1 (100%).
• Peluang sama dengan 0 berarti sebuah peristiwa tidak bisa terjadi atau Kejadian yang tidak pernah muncul sama sekali, sedangkan peluang sama dengan 1 berarti peristiwa tersebut pasti terjadi atau kejadian yang selalu muncul.
• Semakin besar nilai peluang yang dihasilkan dari suatu perhitungan maka semakin besar keyakinan kita bahwa peristiwa itu akan terjadi. Dewasa ini, perkiraan tentang akan terjadinya suatu gejala alam bukanlah sesuatu pekerjaan sederhana akan tetapi telah melalui suatu proses perhitungan yang sangat kompleks.
• Gejala sebuah peristiwa tidak hanya dikaji dari satu sisi saja, misalnya pengaruh waktu, akan tetapi juga melibatkan banyak variabel yang terkait dengan peristiwa tersebut.  Oleh karena itu peluang yang didasarkan pada latar belakang ilmiah bisa memberikan tingkat keyakinan yang lebih tinggi bagi orang yang memerlukannya.
• Contoh :
  1. Kemungkinan Lahirnya anak perempuan adalah 50 % atau ½. Demikian juga peluang kelahiran anak laki-laki juga ½.
  2. Seperti halnya dalam mata uang logam, maka kemungkinan timbulnya muka gambar pada satu lemparan adalah ½, demikian juga kemungkinan timbulnya muka huruf juga ½.
  3. Bagaimana dengan Peluang keluarnya angka pada Mata Dadu ?. Jumlah angka = 6, berarti Keluarnya angka pada mata dadu adalah 1/6.
  4. Percobaan-percobaan persilangan secara teori akan menghasilkan keturunan dengan nisbah tertentu. Nisbah teoretis ini pada hakekatnya merupakan peluang diperolehnya suatu hasil, baik berupa fenotipe maupun genotipe. Sebagai contoh, persilangan monohibrid antara sesama individu Aa akan memberikan nisbah fenotipe A- : aa = 3 : 1 dan nisbah genotipe AA : Aa : aa = 1 : 2 : 1 pada generasi F₂. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa peluang diperolehnya fenotipe A- dari persilangan tersebut adalah 3/4, sedangkan peluang munculnya fenotipe aa adalah 1/4. Begitu juga, untuk genotipe, peluang munculnya AA, Aa, dan aa masing-masing adalah 1/4, 2/4 (=1/2), dan 1/4.
• 8.3. Peristiwa
• Istilah peristiwa yang kita kenal sehari-hari seringkali agak berbeda makna  jika kita berbicara tentang teori peluang. Biasanya orang berpikir bahwa peristiwa adalah suatu kejadian layaknya peristiwa sejarah, gejala-gejala fisik, pesta dan lain sebagainya. Dalam statistika, pengertian ini diperluas dengan memasukkan unsur-unsur kesempatan atau peluang atas terjadinya suatu peristiwa yang didasarkan pada hasil sebuah percobaan atau eksperimen yang dilakukan secara berulang-ulang.
• Sebagai contoh peristiwa terambilnya kartu As dari setumpuk kartu bridge, jumlah cairan yang disaring dari mesin pengisi, jumlah kendaraan niaga yang melalui jalan protokol, jumlah barang yang cacat dalam satu lot, dan karakteristik lainnya yang secara umum tidak dapat disebutkan sebagai peristiwa.
• Untuk keperluan penentuan peluang ada gunanya untuk membagi peristiwa ke dalam dua jenis peristiwa yakni peristiwa sederhana dan peristiwa majemuk.
• Peristiwa sederhana tidak dapat dibagi lebih lanjut lagi ke dalam komponen-komponen peristiwa, sedangkan peritiwa majemuk selalu memiliki dua atau lebih komponen peristiwa sederhana.
• Peristiwa “Kartu Sekop” secara definisi adalah peristiwa sederhana karena hanya ada satu jenis kartu sekop dalam setumpuk kartu bridge. Akan tetapi peristiwa “As Sekop” dapat dianggap sebagai peristiwa majemuk karena kartunya haruslah berisikan keduanya yakni kartu As dan kartu Sekop.  Namun definisi ini tergantung dari pandangan si pelaku percobaan. Bisa saja seseorang mengatakan bahwa As Sekop sebagai suatu peristiwa sederhana jika dia mengganggap hal ini sebagai suatu kesatuan. Pembagian jenis peristiwa ini dimaksudkan untuk kemudahan dalam mempelajari teori peluang selanjutnya
• 8.4. Macam-Macam Peluang
• Berdasarkan pada jenis terjadinya suatu peristiwa yaitu peristiwa sederhana maupun peristiwa majemuk atau ganda , maka kita dapat membedakan peluang yaitu Peluang Logis, Peluang Empiris dan Peluang Subyektif.
• Untuk peristiwa sederhana, peluang dapat diturunkan baik secara logis, melalui pengamatan empiris maupun secara subjektif. Ketiga bentuk peluang ini mempunyai implikasi yang penting bagi para manajer khususnya dalam proses pengambilan keputusan.
• 8.4.1. Peluang Logis
• Semua proses yang bisa diprediksi dan didefinisikan secara lengkap memungkin kan kita secara deduktif menentukan peluang dari hasil yang terjadi. Sayangnya banyak para pebisnis yang tidak masuk dalam kategori ini. Sebenarnya penurunan peluang logis adalah sesuatu yang  berharga untuk dikaji, karena kemampuan memprediksi proses sederhana kerapkali bisa memberikan petunjuk bagi para manajer untuk memperbaiki tindakan-tindakan dalam menghadapi situasi yang kompleks atau tidak dapat diprediksi.
• Peluang logis sebenarnya didasarnya pada pertimbangan logika semata, bukan berdasarkan hasil percobaan. Tetapi hasil ini bisa diuji melalui suatu percobaan. Pelemparan dua buah dadu yang merupakan salah satu upaya keras tertua dalam pengembangan teori peluang, bisa diambil sebagai contoh dari penurunan peluang logis ini.
• Pada pelemparan dua buah dadu kita tahu bahwa jumlah angka dari kedua dadu yang bisa muncul adalah 2, 3, 4, 5, …, 12 atau ada 11 peristiwa yang berbeda.
• Berapa peluang munculnya jumlah 5? Meski peristiwa jumlah 5 ada 1 dari 11 peristiwa,  tidak berarti bahwa peluangnya adalah 1/11. Mengapa demikian, karena kita tidak mempertimbangkan bagaimana berbagai peristiwa bisa dihasilkan. Perhatikan Tabel di bawah ini yang merupakan matriks dari semua kombinasi peristiwa yang mungkin terjadi dalam pelemparan dua buah dadu. Dari sini tampak bahwa ada 36 kombinasi yang mungkin. Peristiwa “jumlah 5” adalah hasil dari kombinasi 4 peristiwa. Berarti peluang munculnya jumlah 5 pada pelemparan dua buah dadu adalah 4/36 atau sekitar 0,11.
• 
• 8.4.2. Peluang Empiris
• Banyak kasus dimana para manajer kurang mengikuti pola-pola peluang seperti yang dijelaskan di atas. Kemungkinan besar hal ini disebabkan tidak dipahaminya apa sebenarnya peluang itu. Untuk kasus seperti ini, yang lebih cocok untuk diacu adalah peluang yang didasarkan pada data pengamatan atau data empiris.
• Ambil contoh sebagai berikut.
• Dalam memproduksi sebanyak 10.000 unit telur ayam ras, diperoleh 25 unit diantaranya cacat/rusak. Berdasarkan hasil ini maka dapat dikatakan bahwa peluang telur yang cacat/rusak adalah 25/10.000 = 0,0025. Nilai ini juga merupakan peluang terambilnya secara acak 1 unit telur yang cacat. Demikian pula rata-rata persentase barang cacat dalam suatu box diperkirakan sebesar 0,0025.  Jika ada pesanan sebanyak 2.000 unit telur dari perusahaan peternakan ini kita berharap 0,0025(2000) = 5 unit telur yang cacat.
• Peluang empiris atau ada pula yang menyebutnya sebagai peluang objektif, hanya bisa diperoleh melalui percobaan atau eksperimen yang dilakukan secara berulang-ulang, dalam kondisi yang sama dan diharapkan dalam jumlah yang besar. Dari eksperimen ini akan dihasilkan informasi berupa frekuensi relatif yang sangat berguna khususnya untuk keperluan perbaikan sebuah sistem. Misalnya saja dalam proses pengemasan susu ingin diketahui berapa persen kemasan yang berisikan lebih dari 150 ml. Dari proses pengisian yang cukup lama, maka bisa dibuat distribusi frekuensi volume susu yang terisi kedalam kotak atau susu yang tercecer pada setiap pengisian. Dari sini maka akan akan diperoleh informasi yang sangat berguna untuk melakukan penyesuaian terhadap sistem kerja mesin pengisi susu tersebut.
• Meski konsep peluang ini sama seperti peluang logis, akan tetapi peluang empiris lebih mudah dimengerti dan dipahami. Hampir sebagian besar pengguna teori peluang setuju dengan definisi peluang objektif sebagai berikut :
• 
• 8.4.3. Peluang Subjektif
• Masalah yang umum dihadapi oleh seorang manajer adalah ketika dia tidak mampu memprediksi proses sebuah peristiwa ditambah lagi dengan tidak tersedianya data yang memadai. Untuk memecahkan masalah seperti ini biasanya seorang manajer akan memberikan nilai peluang tertentu kepada peristiwa tersebut yang didasarkan pada faktor-faktor kualitatif, pengalaman dengan situasi yang serupa atau bahkan intuisi.
• Peluang subjektif muncul ketika seorang pengambil keputusan dihadapkan oleh pertanyaan-pertanyaan yang tidak bisa dijawab berdasarkan peluang empiris atau frekuensi empiris. Sebagai contoh “Berapa peluang penjualan barang X bulan depan akan melebihi 50.000 unit jika dilakukan perubahan kemasan?”.  Sudah barang tentu eksperimen tentang pengaruh perubahan kemasan terhadap volume penjualan dengan pengulangan yang sangat besar jarang dilakukan bahkan tidak pernah dilakukan. Meski menggunakan data penjualan bulanan bukan sesuatu yang musthail, akan tetapi tidaklah efisien jika perusahaan selalu merubah kemasan setiap bulannya hanya untuk meningkatkan volume penjualan. Olehkarena itu, biasanya seorang manajer mengguna kan intuisi atau perasaannya dalam menentukan nilai peluang ini. Jadi tidaklah heran jika seorang manajer menyatakan “peluang terjualnya barang X melebihi 50.000 unit pada bulan depan adalah 0,40”.  Apa artinya pernyataan ini? Secara peluang dapat didefinisi kan sebagai berikut.
• Definisi : Peluang subjektif adalah sebuah bilangan antara 0 dan 1 yang digunakan seseorang untuk menyatakan perasaan ketidakpastian tentang terjadinya peristiwa tertentu. Peluang 0 berarti seseorang merasa bahwa peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi, sedangkan peluang 1 berarti bahwa seseorang yakin bahwa peristiwa tersebut pasti terjadi.
• Definisi ini jelas merupakan pandangan subjektif atau pribadi tentang peluang.
• Meski peluang subjektif tidak didasarkan pada suatu eksperimen ilmiah, namun penggunaannya tetap bisa dipertanggungjawabkan. Dalam menentukan nilai peluang ini, seorang pengambil keputusan tetap menggunakan prinsip-prinsip logis yang didasarkan pada pengalaman yang diperolehnya. Seorang pengambil keputusan sudah mengetahui secara nyata apa faktor-faktor yang mempengaruhi keputusannya sehingga dia bisa memprediksi apa kira-kira yang bakal terjadi dari keputusan yang diambilnya. Yang masih menjadi pertanyaan adalah apakah peluang subjektif dapat digunakan untuk keperluan analisis statistika selanjutnya. Kelompok statistika objektif atau klasik menolak penggunaan peluang subjektif ini, sebaliknya kelompok Bayes menerimanya. Bukan tujuan kita untuk membahas perdebatan ini, kecuali bahwa penggunaan peluang subjektif tampak sesuai dalam pengambilan keputusan bisnis. Berbeda halnya dengan penelitian kimia, pertanian, farmasi, kedokteran  atau ilmu eksakta lainnya yang memang harus menggunakan peluang objektif sebagai dasar analisisnya. Sampai saat ini pengambilan keputusan berdasarkan peluang subjektif masih dibilang sebagai salah satu tehnik manajerial yang terbaik.
• 8.5. Ruang Sampel
• Dalam tabel tentang Pelemparan 2 buah dadu, dapat kita lihat bahwa jumlah peristiwa yang bisa terjadi dalam pelemparan dua buah dadu paling banyak adalah 36 titik (lebih dikenal sebagai titik sampel). Jika dilakukan pelemparan 1 buah dadu, angka-angka yang mungkin muncul adalah 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 atau ada 6 titik sampel. Sebuah keluarga yang baru menikah merencanakan kelahiran 3 orang anak Anggaplah peluang lahirnya anak laki-laki (L) dan anak perempuan (P) adalah sama. Maka susunan anak (Laki-laki=L atau Perempuan=P) yang mungkin adalah LLL, LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL atau PPP, ada 8 titik sampel.
• Semua hasil yang mungkin dari sebuah eksperimen, seperti yang baru dicontohkan, dalam teori peluang disebut sebagai ruang sampel atau ruang hasil. Jumlah titik yang dianggap sebagai representasi setiap peristiwa dalam ruang sampel ini dinotasikan dengan N,   sedangkan jumlah peristiwa yang sedang diamati dinotasikan dengan huruf  n. Secara formal ruang sampel ini dinyatakan dengan huruf  S. Untuk kemudahan bentuk penulisan ruang sampel ini mengunakan teori himpunan seperti contoh berikut.
• Contoh :  S = { LLL, LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL, PPP} ® N = 8
•                  S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → N = 6
• Menetapkan ruang sampel adalah langkah awal yang perlu dilakukan sebagai dasar untuk menghitung peluang suatu peristiwa yang ada dalam ruang sampel ini. Peluang terjadinya S adalah sama dengan satu. Ini merupakan konsekuensi logis, karena jumlah titik S adalah jumlah semua peristiwa yang mungkin demikian pula dengan peluangnya. Dalam diagram Venn notasi S ditempatkan pada ujung kanan atas persegi panjang.
• Definisi :    Peluang dari ruang sample S, atau P(S) = 1
• Beberapa Kaidah Mencacah Ruang Sampel
• 
• 8.6. Kaidah-Kaidah Peluang
• Sebelum membahas berbagai konsep yang menyangkut teori peluang secara formal, ada baiknya diperkenalkan terlebih dahulu beberapa hal mendasar berikut ini. Semua nilai peluang yang dibahas dalam analisis statistika selalu dinyatakan dalam bentuk pecahan atau desimal. Sedangkan setiap peristiwa dinyatakan dalam bentuk huruf besar baik menggunakan indeks maupun tidak, seperti A, B, E, … A_i, B_i, ….
• Contoh :  A = munculnya angka 1 pada pelemparan 1 buah dadu
  • E = jumlah barang yang cacat
  • K = jumlah konsumen yang menyukai kemasan plastik
• 8.7. Peluang Sebuah Peristiwa
• Untuk mempermudah penjelasan dalam menghitung peluang ini, ambil contoh tentang sebuah keluarga yang merencanakan untuk memiliki 3 anak seperti yang dijelaskan sebelumnya. Berapakah peluang sebuah keluarga memiliki paling sedikit 2 anak laki-laki?. Untuk menjawabnya perlu diketahui jumlah peristiwa yang bisa terjadi.
• Misal E = paling sedikit dua anak laki-laki
• Kita tahu : S = { LLL, LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL, PPP}
• Dari S ini bisa dilihat bahwa E adalah kumpulan dari titik-titik {LLL,LLP, LPL, PLL} dimana jumlah titik sampelnya = 4.
• 
• 8.7.1. Peluang Peristiwa Sederhana
• Jika peristiwa E menghindarkan terjadinya peristiwa È maka :  P(È) = 1- P(E). Peristiwa ini disebut juga sebagai peristiwa komplementer.
• Berapa peluang munculnya bukan angka genap pada pelemparan sebuah dadu ?
• Jawab : Misal G adalah peristiwa munculnya angka genap  →  G = {2, 4, 6}
• P(G) = 3/6 = ½.
• Dengan menggunakan Rumus di atas, maka diperoleh : P (G) = 1 – P(G) = 1-½ = ½
• 8.7.2. Peluang Peristiwa Majemuk
• Dalam peristiwa peluang majemuk ada 2 jenis peristiwa yang dapat dijelaskan yaitu peristiwa bebas dan peristiwa tidak bebas.
• 8.7.2.1. Peristiwa Bebas
• Peristiwa bebas atau Kemungkinan 2 Peristiwa yang berdiri sendiri adalah Dua kejadian independen untuk muncul bersama-sama akan memiliki peluang yang besarnya sama dengan hasil kali masing-masing peluang kejadian. Peristiwa A dikatakan bebas dari peristiwa B jika salah satu peristiwa tidak dipengaruhi oleh peristiwa lainnya.
• Contoh :
• Jika kita mengambil kartu dari setumpuk kartu bridge secara berurutan dimana setiap pengambilan kartu selalu dikembalikan lagi, maka semua hasil dari peristiwa ini dikatakan bebas antara yang satu dengan lainnya. Peluang terambilnya kartu As pada setiap pengambilan akan selalu 4/52. Jika pengambilan kartu tidak dengan pengembalian maka hasil yang diperoleh akan bersifat tidak bebas atau saling tergantung. Peluang terambilnya kartu As pada pengambilan pertama adalah 4/52, pengambilan kedua 3/51, pengambilan ketiga 2/50 dan seterusnya.
• Kejadian I dan II yang independen masing-masing memiliki peluang = 1/2. Peluang bagi kejadian I dan II untuk muncul bersama-sama = 1/2 x 1/2 = ¼
• Pada pelemparan dua mata uang logam sekaligus. Jika peluang untuk mendapatkan salah satu sisi mata uang = 1/2, maka peluang untuk mendapatkan sisi mata uang tersebut pada dua mata uang logam yang dilempar sekaligus = 1/2 x 1/2 =¼
• Dua peristiwa yang saling bebas dinyatakan dalam hubungan A dan B  Secara simbolik : P(A dan B) = P (A ∩ B) = P(A) . P(B) atau   P (x + y) = (Px) . (Py)
• INGAT !. Bila ada kata ”DAN” atau ”+”, maka merupakan Perkalian.
• Contoh  Soal.
  1. Berapakah kemungkinan (Peluang) dari suatu kelahiran anak yang jatuh pada hari Jum’at Legi ?
  2. Seluruh Keluarga yang mempunyai anak 2 orang, maka berapakah peluangnya kedua anak tersebut adalah laki-laki semuanya ?
• 
• 8.7.2.2. Peristiwa Tidak Bebas
• Secara umum Peristiwa tidak bebas adalah Kemungkinan 2 Peristiwa yang timbal balik dan saling mempengaruhi. Peristiwa A dikatakan tidak bebas dari peristiwa B jika salah satu peristiwa dipengaruhi oleh peristiwa lainnya.
• Peristiwa tidak bebas menggunakan kaidah penjumlahan untuk perhitungan peluangnya dan menggunakan istilah atau untuk menghubungkan keduanya. Untuk itu berlaku aturan bahwa peluang terjadinya dua peristiwa A atau B (secara notasi himpunan A∪B) adalah jumlah dari peluang tiap peristiwa tersebut.
• 
• Contoh Soal  :
  1. Berapakah kemungkinan dari tertariknya Kartu As atau King pada Penarikan Kartu Bridge
  2. Atas prestasinya seorang manajer pemasaran memperoleh penghargaan untuk mengunjungi 3 negara. Dia memutuskan untuk memilih secara acak 3 dari 5 negara yang tersedia (Amerika, Belanda, China, Denmark dan Ekuador) dengan  mengambil inisial dari nama negara tersebut. Berapa peluang Amerika dan Belanda selalu terpilih bersamaan, atau China dan Ecuador selalu terpilih, atau Belanda, China dan Denmark?
• Jawab :
  1. Kemungkinan tertariknya satu gambar pada Kartu Bridge adalah 1/52. P (As / King) = P (As) + P (King) = (4/52) + (4/52) = 8/52 = 2/13. Berarti : Bahwa kemungkinan tertariknya As atau King adalah 2 Kali dalam 13 Tarikan
  2. Ruang sample dari kombinasi pilihan adalah : S = {abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde} → N = 10. Sekarang kita tentukan peristiwa-peristiwa yang dimaksud oleh soal di atas berikut ini
• 
• Penggunaan Rumus Binomium dalam Peristiwa Tidak Bebas.
• Apabila ada dua kejadian, misalnya A dan B yang masing-masing memiliki peluang kemunculan sebesar p dan q, maka sebaran peluang kemunculan kedua kejadian tersebut adalah (p + q)ⁿ. Dalam hal ini n menunjukkan banyaknya ulangan yang dilakukan untuk memunculkan kejadian tersebut
• 
• Contoh Soal lain:
  1. Seorang Laki-Laki yang mempunyai suatu sifat dengan genotype Aa kawin dengan wanita dengan genotype yang sama. Aa adalah warna kulit normal dan bila dikawinkan maka hasilnya adalah 3 Normal : 1 Albino (Imbangan Genotipenya adalah = 1 AA : 2 Aa : 1 aa. Berapakah peluang untuk timbulnya anak albino ?
  2. Seperti soal point 1), bila dalam suatu keluarga mempunyai 2 orang anak, maka :
     1. berapakah peluang anak pertama normal dan anak kedua albino?
     2. Bagaimana Peluang dari anak yang normal itu laki-laki dan albino itu perempuan?
• Jawab :
  1. Jumlah Ruang sampel = 4, sehingga P (Albino) = ¼ dan P (Normal) = ¾. Jadi Peluang timbulnya anak albino = ¼.
  2. Berdasarkan Rumum umum binomium atau segitiga Pascal, maka diperoleh sbb.  (a+b)² = a² + 2ab + b² dimana :  a = peluang timbulnya anak normal dan b = peluang timbulnya anak albino.
     1. Maka : P (Anak I Normal; Anak II Albino) = 2 ab = 2 x ¾ x ¼ = 3/8
     2. P (Normal Laki²; Perempuan Albino) = P (Laki², Perempuan) x P (Normal, Albino) = ½ x 3/8 = 3/16.
• Sebenarnya dalam Peristiwa Tidak bebas dapat dikelompokkan menjadi 3 yaitu Peristiwa Tidak Bebas Ekslusif, Inklusif dan Bersyarat. Pembahasan tentang Peristiwa tidak bebas yang Eklusif seperti dijelaskan di atas. Sedangkan tambahan pengetahuan tentang Peristiwa tidak bebas secara Inklusif dan Bersyarat dapat disimak penjelasan di bawah ini.
  1. Peristiwa Saling Inklusif
     • Jika dua peristiwa memiliki titik yang sama atau terdapat irisan antara kedua peristiwa, maka hubungan kedua peristiwa ini disebut saling inklusif. Hubungan inklusif sebenarnya adalah perluasan dari hubungan eksklusif. Dalam peristiwa ini berlaku hubungan : A atau B atau keduanya. Secara matematis hubungan ini dirumuskan sebagai berikut :
     • P(A atau B atau keduanya) = P (A∪B) = P (A) . P(B) – P (A ∩ B)
     • dimana  A ∩ B menunjukkan irisan antara peristiwa A dan B. Irisan ini berisikan titik yang sama yang ada dalam peristiwa A dan B. Sedangkan nilai peluangnya,P (A ∩ B), selain bisa dilihat dari ruang sampelnya juga bisa diperoleh dari perkalian antara tiap peluang. Secara diagram hubungan ini bisa dilukiskan seperti pada Gambar di bawah ini.
     • 
  2. Peristiwa Bersyarat.
     • Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita berhubungan dengan peluang dari sebagian ruang sampel. Dengan lain perkataan bahwa kita jarang bekerja dalam ruang lingkup populasi. Peluang seorang konsumen yang dipilih secara acak dari populasi masyarakat berpenghasilan tinggi tidak sama dengan peluang seorang berpenghasilan tinggi yang dipilih secara acak dari populasi konsumen. Peluang seorang konsumen yang menyukai produk A yang dipilih secara acak dari suatu komunitas akan berbeda dengan peluang terpilihnya seorang pemakai produk A dari komunitas lainnya. Ini adalah beberapa contoh bagaimana kita harus memilah suatu peristiwa yang ada dalam suatu populasi ke dalam subpopulasi. Dalam teori peluang hal semacam ini penting untuk diketahui karena peluang dalam sebagian ruang sampel bisa berbeda dengan peluang pada ruang sampel secara keseluruhan. Subpopulasi didefinisikan secara khusus dalam populasi ini dan peluang-peluang yang berhubungan dengan setiap peristiwa dalam subpopulasi dikenal dengan nama peluang bersyarat.
     • Peluang bersyarat banyak digunakan dalam dunia bisnis dan ekonomi. Salah satu contohnya adalah penggunaan teorema Bayes yang banyak dipakai dalam teori pengambilam keputusan. Dalam bagian terakhir bab ini akan diberikan sebuah contoh aplikasi peluang bersyarat dalam pengambilan keputusan,
     • Untuk mempermudah pemahaman tentang peluang bersyarat ini sebaiknya kita ambil contoh berikut ini. Sebuah perusahaan membuka lowongan kerja untuk mengisi pekerjaan sekretaris perusahaan. Ada 100 orang pelamar yang terdiri atas berpengalaman lebih dari tiga tahun dan kurang dari tiga tahun serta dengan status menikah dan tidak menikah.
     • Secara rinci jumlahnya diberikan dalam tabel berikut :
     • 
     • Karena tidak ada waktu untuk melakukan penyaringan, maka seluruh peserta dianggap memiliki peluang yang sama untuk terpilih sebagai sekretaris.
     • Misal E : peristiwa pelamar yang dipilih memiliki pengalaman lebih tiga tahun
     •           M : peristiwa pelamar yang dipilih statusnya menikah
     • Dari tabel di atas bisa dihitung :
       • Jumlah titik dalam ruang sampel S = 100
       •  P(E)  = 36/100 = 0,36
       • P(M) = 30/100 = 0,30
       • P(E∩M) = 12/100 = 0,12
     • Anggaplah karena ada sesuatu hal maka pelamar dibatasi pada pendaftar yang statusnya telah menikah. Selanjutnya perusahaan ingin mengetahui  peluang terpilihnya pelamar dengan pengalaman lebih dari tiga tahun dari pembatasan tersebut. Dalam notasi peluang bersyarat, peluang yang demikian dituliskan sebagai P(E ⌉ M) atau peluang terjadinya E bersyarat M.
     • Dengan membatasi pelamar yang hanya menikah, ini berarti ruang sampel atau populasi telah berubah menjadi ruang sampel yang lebih kecil atau menjadi subpopulasi. Dalam hal ini subpopulasi yang dipilih adalah pelamar yang menikah atau M. Dari tabel di atas subpopulasi M ini memiliki titik sampel 30. Disini telah terjadi pengurangan jumlah titik sampel dari 100 menjadi 30.
     • Dengan mengganggap setiap pelamar masih memiliki peluang yang sama, maka peluang terpilihnya pelamar yang memiliki pengalaman lebih dari 3 tahun dengan syarat telah menikah adalah :
     • P(E  ⌉  M) = 12/30 = 0,40
     • Dari hasil ini terlihat bahwa 12 adalah titik sampel irisan antara E dan M populasi (E∩M), sedangkan 30 adalah titik sampel subpopulasi atau ruang sampel untuk syarat M dengan peluang P(M)
     • Apabila hasil ini kita tuliskan dalam notasi peluang maka diperoleh bentuk :
     • Peluang bersyarat juga bisa dihitung dari pendekatan subpopulasi. Perhatikan sub populasi pelamar yang telah menikah.
     • Jumlah peluang yang ada pada subpopulasi tetap harus memenuhi aturan peluang yakni sama dengan satu, P(M) = 12/30 +  18/30 = 1.
     • Perhatikan bahwa P(E∩M) pada ruang sample awal adalah 12/100 = 0,12, akan tetapi setelah menjadi subpopulasi P(E∩M) menjadi 12/30 = 0,40. Sedangkan peluang terpilihnya pelamar menikah P(M) pada ruang sample awal adalah  30/100 = 0,30 , sekarang menjadi 18/30 = 0,60. Mengapa menjadi 18 bukannya 30? Karena yang 12 ada pada ruang sample irisan (EÇM). Dengan demikian P(E Ι M) berdasarkan subpopulasi adalah : P(E I M) = 0,40/1,00 = 0,40
     • Jadi hasil perhitungan peluang bersyarat baik dengan menggunakan ruang sample asli maupun pendekatan subpopulasi akan memberikan hasil yang sama.
     • Peluang bersyarat untuk kedua keadaan yang dijelaskan di atas, secara visual dapat dilihat pada Gambar di bawah ini.
     • 
     • Contoh
       1. Perusahaan “Highchicken” adalah perusahaan yang bergerak dalam pengolahan makanan berbahan baku daging ayam. Dari pengalaman yang telah lampau diketahui bahwa (1) peluang pesanan siap dikirim secara tepat waktu adalah 0,80 dan (2) peluang pesanan dikirim dan sampai di tujuan tepat waktu adalah 0,72. Berapakah peluang pesanan sampai di tujuan secara tepat waktu dengan catatan bahwa pesanan tersebut sudah siap untuk dikirimkan secara tepat waktu?.
       2. Survei yang dilakukan oleh “MarketPlus” terhadap 700 responden untuk mengetahui selera konsumen terhadap Susu Kemasan yang diberi rasa dan tidak berasa menghasilkan data sebagai berikut :
          • 
• 8.8.  Uji X² (Uji-Square test) 
• Seringkali dalam kita mengadakan percobaan perkawinan/ persilangan menghasil kan keturunan yang tidak sesuai dengan hukum Mendel atau kenyataan nisbah teoretis yang merupakan peluang diperolehnya suatu hasil percobaan persilangan tidak selalu terpenuhi. Penyimpangan (deviasi) yang terjadi bukan sekedar modifikasi terhadap nisbah Mendel seperti yang telah diuraikan di atas, melainkan sesuatu yang adakalanya tidak dapat diterangkan secara teori
• Kejadian tersebut menyebabkan kita ragu-ragu, apakah penyimpangan tsb terjadi karena kebetulan saja atau karena faktor lain? Maka kita perlu mengadakan evaluasi terhadap benar atau tidaknya hasil percobaan yang telah kita lakukan dibandingkan dengan keadaan secara teoritis.
• 
• Dalam perhitungan harus diperhatikan besarnya derajad kebebasan (degree of freedom) yang nilainya = jumlah kelas fenotip dikurangi dengan satu.
• Jadi Uji X² adalah suatu perhitungan yang digunakan untuk mnguji apakah hasil pada pengamatan (observed) itu masih sesuai dengan hasil yang diharapkan (expected).
• Uji X² ini dipergunakan sebab hasil pada pengamatan tidak selalu tepat sama seperti yang diharapkan bahkan ada yang sangat menyimpang. Dengan Uji X² ini dapat dilihat penyimpangan tersebut masih dapat diterima/ masih sesuai atau tidak sesuai dengan yang diharapkan.
• Langkah-Langkah yang dilakukan dalam Uji X² adalah sbb.
  1. Dihitung Hasil yang diharapkan dengan Rumus di atas.
  2. Ditentukan taraf signifikasi/taraf nyata (dapat diartikan sebagai peluang terjadinya kesalahan), dimana biasanya dipakai 5 % atau 1 %.
  3. Dari banyaknya Fenotipe yang diamati maka ditentukan derajat bebasnya yang diperoleh dari banyaknya macam fenotipe dikurangi satu (n-1).
  4. Berdasarkan taraf nyata (5% atau 1%) serta derajat bebas dapat dilihat besarnya X² Tabel pada Tabel X
• Agar lebih jelas, berikut ini akan diberikan sebuah contoh. Suatu persilangan antara sesama individu  dihibrid (AaBb) menghasilkan keturunan yang terdiri atas empat macam fenotipe, yaitu A-B-, A-bb, aaB-, dan aabb masing-masing sebanyak 315, 108, 101, dan 32.  Untuk menentukan bahwa hasil persilangan ini masih memenuhi nisbah teoretis (9 : 3 : 3 : 1) atau menyimpang dari nisbah tersebut perlu dilakukan suatu pengujian secara statistika. Uji yang lazim digunakan adalah uji X² (Chi-square test) atau ada yang menamakannya uji kecocokan (goodness of fit).
• Untuk melakukan uji X² terhadap hasil percobaan seperti pada contoh tersebut di atas, terlebih dahulu dibuat tabel sebagai berikut.
• 
• Pada tabel tersebut di atas dapat dilihat bahwa hasil percobaan dimasukkan ke dalam kolom O sesuai dengan kelas fenotipenya masing-masing.
• Untuk memperoleh nilai E (hasil yang diharapkan), dilakukan perhitungan menurut proporsi tiap kelas fenotipe.
• Selanjutnya nilai d (deviasi) adalah selisih antara O dan E.
• Pada kolom paling kanan nilai d dikuadratkan dan dibagi dengan nilai E masing-masing, untuk kemudian dijumlahkan hingga menghasilkan nilai X²_h atau X² _hitung.
• Contoh di atas  X² _hitung.= 0,470
  • Nilai X²_h inilah yang nantinya akan dibandingkan dengan nilai X² yang terdapat dalam tabel X² (disebut nilai X²_tabel ) yang disingkat menjadi X²_t. Apabila X²_h lebih kecil daripada X²_t dengan peluang tertentu (biasanya digunakan nilai 0,05), maka dikatakan bahwa hasil persilangan yang diuji masih memenuhi nisbah Mendel. Sebaliknya, apabila X²_h lebih besar daripada X²_t, maka dikatakan bahwa hasil persilangan yang diuji tidak memenuhi nisbah Mendel pada nilai peluang tertentu (biasanya 0,05).
  • Adapun nilai X²_t yang akan digunakan sebagai pembanding bagi nilai X²_h dicari dengan cara sebagai berikut.
    1. Kita tentukan terlebih dahulu nilai derajad bebas (db), yang merupakan banyaknya kelas fenotipe dikurangi satu. Jadi, pada contoh di atas nilai db nya adalah 4 – 1 = 3.
    2. Selanjutnya, besarnya nilai DB ini akan menentukan baris yang harus dilihat pada tabel X².
    3. Setelah barisnya ditentukan, untuk mendapatkan nilai X²_t pembanding dilihat kolom peluang 0,05. Dengan demikian,  nilai X²_t pada contoh tersebut adalah 7,815.
    4. Jadi X²_{t (0,05; 3)}  artinya : X²_t dengan tingkat kebebasan 3 dan taraf peluang 5 % = 7,815.
• Oleh karena nilai X²_h (0,470) lebih kecil daripada nilai X²_t (7,815), maka dikatakan bahwa hasil persilangan tersebut masih memenuhi nisbah Mendel.
• 
• 8.9.  Umpan Balik
• 
• 
•